Relación entre presión y energía cinético molecular

     Para obtener una expresión que relacione la presión y la energía cinético molecular para un gas ideal se hace uso de una demostración que se halla en la mayoría de textos y que aplica leyes básicas de la mecánica, además de las condiciones para gases ideales expuestas anteriormente.

     Se tiene un gas en equilibrio térmico compuesto por N moléculas, el gas se encuentra dentro de un recipiente cúbico de volumen V, entonces la cuestión es: ¿Qué sucede con una molécula que tiene una rapidez  y choca con una pared de un recipiente cúbico con bordes de longitud d?

     La molécula se mueve con una rapidez v hacia una de las caras del cubo (izquierda) y los componentes de rapidez de la partícula son v_xi, v_yi y v_zi. Si se tiene en cuenta el modelo molecular propuesto por la teoría cinética, mencionado anteriormente, los choques entre moléculas corresponden a choques elásticos. La componente x del momentum de la molécula de masa m antes del choque es m, después de colisionar el componente de rapidez en x se invierte, siendo el momentum igual a – m (figura 5), entonces:

    
Conforme a (8) existe un cambio en el momentum de la molécula, ahora, de acuerdo con la segunda ley de Newton el cambio en el momentum de ésta es igual al impulso actuando sobre ella. Pero como se supone que no existen fuerzas intermoleculares excepto las del choque entre ellas y con el recipiente que las contiene, es factible suponer que dicha fuerza es la que la partícula le imprime a la pared y de acuerdo con la tercera ley de Newton es una fuerza igual y opuesta a la que la pared ejerce sobre ella. Por lo tanto se escribe:

     Para que una molécula realice un choque contra la pared y se devuelva, debe recorrer dos veces la distancia d a lo largo del eje x en un tiempo . Despejando y reemplazando en (9) el tiempo, se da:

     Como la presión es una fuerza por unidad  de superficie es posible relacionarla directamente con los choques de molécula – pared y choques molécula- molécula.

     La fuerza total sobre las paredes del recipiente es la suma de las fuerzas ejercidas por cada molécula individualmente. Haciendo una apropiación de esto y asumiendo un total de N moléculas de gas se expresa la ecuación (11) de la siguiente forma:

    
    Entonces la fuerza total sobre la pared es:

    
   Pero como los movimientos son aleatorios, el valor promedio del cuadrado de la rapidez en cualquiera de los tres ejes es  entonces , por lo tanto:

    
   Ahora, como se mencionó anteriormente es posible relacionar esta fuerza con la presión debida a los choques, pero para expresarlo en forma matemática se divide ambos lados de (13) entre d² que para el caso de la figura 5 corresponde al área del recipiente donde ocurre el choque, ya que P = :

    
   Para encontrar la relación entre Presión  y energía cinético molecular hace falta que el término este dividido en 2; para no alterar la ecuación se multiplica y divide entre dos:

      
   Resulta evidente que esta energía es proveniente de las moléculas de gas y como se muestra en (16) es energía cinética entre otras cosas porque no puede existir energía potencial de acuerdo con las restricciones hechas (ya que no existen fuerzas intermoleculares en el modelo). Microscópicamente se explica, porque si se mantiene el volumen constante y se aumenta la rapidez cuadrática media de las moléculas aumenta también el número de choques de las moléculas, aumentando con ello la presión.

Con esto se observa cómo cantidades macroscópicas como la presión pueden determinarse con base en el comportamiento de la estructura de la materia .